Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
Perhatikan segitiga siku-siku berikut,
Berikut Perbandingan Trigonometrinya :
*). $ \sin A = \frac{sisi depan}{sisi miring} = \frac{de}{mi} = \frac{BC}{BA} = \frac{a}{c} $
*). $ \cos A = \frac{sisi samping}{sisi miring} = \frac{sa}{mi} = \frac{CA}{BA} = \frac{b}{c} $
*). $ \tan A = \frac{sisi depan}{sisi samping} = \frac{de}{sa} = \frac{BC}{CA} = \frac{a}{b} $
*). $ \sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b} $
*). $ \csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{1}{\frac{a}{c}} = \frac{c}{a} $
*). $ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} $
*). $ \tan A = \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{\sin A }{\cos A } \rightarrow \tan A = \frac{\sin A }{\cos A } $
*). $ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\frac{\sin A }{\cos A }} = \frac{\cos A}{\sin A } \rightarrow \cot A = \frac{\cos A}{\sin A } $
*). $ \sin A = \frac{sisi depan}{sisi miring} = \frac{de}{mi} = \frac{BC}{BA} = \frac{a}{c} $
*). $ \cos A = \frac{sisi samping}{sisi miring} = \frac{sa}{mi} = \frac{CA}{BA} = \frac{b}{c} $
*). $ \tan A = \frac{sisi depan}{sisi samping} = \frac{de}{sa} = \frac{BC}{CA} = \frac{a}{b} $
*). $ \sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b} $
*). $ \csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{1}{\frac{a}{c}} = \frac{c}{a} $
*). $ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} $
*). $ \tan A = \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{\sin A }{\cos A } \rightarrow \tan A = \frac{\sin A }{\cos A } $
*). $ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\frac{\sin A }{\cos A }} = \frac{\cos A}{\sin A } \rightarrow \cot A = \frac{\cos A}{\sin A } $
1). Diberikan segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 3 satuan, BC = 4 satuan, tentukanlah sin A, cos C, dan tan A. ?
Penyelesaian :
*). Deskripsi gambarnya,
Untuk segitiga di bawah ini, dengan Teorema Phytagoras diperoleh panjang sisi AC = 5 satuan.
$ \begin{align} \sin A & = \frac{de}{mi} = \frac{BC}{CA} = \frac{4}{5} \\ \cos A & = \frac{sa}{mi} = \frac{AB}{CA} = \frac{3}{5} \\ \tan A & = \frac{de}{sa} = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3} \end{align} $
2). Di bawah ini diberikan tiga segitiga siku-siku, diketahui $ \cos \theta = \frac{3}{5} $ . Tentukanlah nilai $ x $. ?
a). Dari gambar (a),
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{sa}{mi} \\ \cos \theta & = \frac{x}{8} \\ \frac{3}{5} & = \frac{x}{8} \\ x & = \frac{24}{5} \end{align} $
b). Menentukan nilai $ sin \theta $ pada segitiga gambar (b).
diketahui nilai $ \cos \theta = \frac{3}{5} = \frac{sa}{mi} , \, $ berdasarkan pythagoras, diperoleh nilai depannya yaitu 4, sehingga nilai $ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{4}{5} $
*). Menentukan nilai $ x $.
$ \begin{align} \sin \theta & = \frac{de}{mi} \\ \sin \theta & = \frac{x}{4} \\ \frac{4}{5} & = \frac{x}{4} \\ x & = \frac{16}{5} \end{align} $
3). Diketahui $ \sin x + \cos x = 3 \, $ dan $ \tan x = 2 $ , tentukanlah nilai $\sin x $ dan $ \cos x $!
Penyelesaian :
*). Bentuk : $ \tan x = 2 \rightarrow \frac{\sin x }{\cos x} = 2 \rightarrow \sin x = 2\cos x $
*). Substitusi $ \sin x = 2\cos x $ ke persamaan $ \sin x + \cos x = 3 $
$ \begin{align} \sin x = 2\cos x \rightarrow \sin x + \cos x & = 3 \\ 2\cos x + \cos x & = 3 \\ 3\cos x & = 3 \\ \cos x & = 1 \end{align} $
Sehingga nilai $ \sin x = 2\cos x = 2 . 1 = 2 $
Jadi, diperoleh nilai $ \sin x = 2 \, $ dan $ \cos x = 1 $
Identitas Trigonometri
Perhatikan segitiga siku-siku berikut,
Perbandingan trigonometri yang berlaku adalah :
$ \sin A = \frac{y}{r}, \, \cos A = \frac{x}{r}, \, \tan A = \frac{y}{x}, $
$ \sec A = \frac{r}{x}, \, \csc A = \frac{r}{y}, \, \cot A = \frac{x}{y} $
Dari segitiga siku-siku di atas, berlaku teorema pythagoras, yaitu :
$ x^2 + y^2 = r^2 \, $ ...........pers(i)
*). pers(i) dibagi dengan $ r^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} & = \frac{r^2}{r^2} \\ \left( \frac{x}{r} \right)^2 + \left( \frac{y}{r} \right)^2 & = 1 \\ \left( \cos A \right)^2 + \left( \sin A \right)^2 & = 1 \\ \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \end{align} $
Persamaan $ \cos ^2 A + \sin ^2 A = 1 \, $ inilah yang disebut sebagai identitas trigonometri.
**). pers(i) dibagi dengan $ x^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{x^2} + \frac{y^2}{x^2} & = \frac{r^2}{x^2} \\ 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 & = \left( \frac{r}{x} \right)^2 \\ 1 + \left( \tan A \right)^2 & = \left( \sec A \right)^2 \\ 1 + \tan ^2 A & = \sec ^2 A \end{align} $
**). pers(i) dibagi dengan $ y^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{y^2} & = \frac{r^2}{y^2} \\ \left( \frac{x}{y} \right)^2 + 1 & = \left( \frac{r}{y} \right)^2 \\ \left( \cot A \right)^2 + 1 & = \left( \csc A \right)^2 \\ \cot ^2 A + 1 & = \csc ^2 A \end{align} $
Jadi, diperoleh kumpulan persamaan identitas trigonometri, yaitu :
$ \begin{align} \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \\ 1 + \tan ^2 A & = \sec ^2 A \\ \cot ^2 A + 1 & = \csc ^2 A \end{align} $
$ \sin A = \frac{y}{r}, \, \cos A = \frac{x}{r}, \, \tan A = \frac{y}{x}, $
$ \sec A = \frac{r}{x}, \, \csc A = \frac{r}{y}, \, \cot A = \frac{x}{y} $
Dari segitiga siku-siku di atas, berlaku teorema pythagoras, yaitu :
$ x^2 + y^2 = r^2 \, $ ...........pers(i)
*). pers(i) dibagi dengan $ r^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} & = \frac{r^2}{r^2} \\ \left( \frac{x}{r} \right)^2 + \left( \frac{y}{r} \right)^2 & = 1 \\ \left( \cos A \right)^2 + \left( \sin A \right)^2 & = 1 \\ \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \end{align} $
Persamaan $ \cos ^2 A + \sin ^2 A = 1 \, $ inilah yang disebut sebagai identitas trigonometri.
**). pers(i) dibagi dengan $ x^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{x^2} + \frac{y^2}{x^2} & = \frac{r^2}{x^2} \\ 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 & = \left( \frac{r}{x} \right)^2 \\ 1 + \left( \tan A \right)^2 & = \left( \sec A \right)^2 \\ 1 + \tan ^2 A & = \sec ^2 A \end{align} $
**). pers(i) dibagi dengan $ y^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{y^2} & = \frac{r^2}{y^2} \\ \left( \frac{x}{y} \right)^2 + 1 & = \left( \frac{r}{y} \right)^2 \\ \left( \cot A \right)^2 + 1 & = \left( \csc A \right)^2 \\ \cot ^2 A + 1 & = \csc ^2 A \end{align} $
Jadi, diperoleh kumpulan persamaan identitas trigonometri, yaitu :
$ \begin{align} \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \\ 1 + \tan ^2 A & = \sec ^2 A \\ \cot ^2 A + 1 & = \csc ^2 A \end{align} $
Jika diketahui nilai $ \sin A = x, \, $ tentukan nilai $ \cos A , \, \tan A, \, \sec A, \, $ dan $ \csc A , \, $ dimana sudut A adalah sudut lancip (semua nilai trigonometrinya positif).!
Penyelesaian :
Sebenarnya ada dua cara untuk menyelesaikan soal ini, yaitu dengan menggambar segitiganya atau dengan menggunakan persamaan identitas trigonometri.
Cara I : Menggunakan persamaan identitas trigonometri.
Persamaan identitas trigonometri dan diketahui nilai $ \sin A = x $
$ \begin{align} \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \\ \cos ^2 A + x^2 & = 1 \\ \cos ^2 A & = 1 - x^2 \\ \cos A & = \sqrt{1-x^2} \end{align} $
*). Sehingga nilai trigonometri yang lainnya :
$ \begin{align} \tan A & = \frac{\sin A }{\cos A} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \sec A & = \frac{1}{\cos A } = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \csc A & = \frac{1}{\sin A } = \frac{1}{x} \\ \cot A & = \frac{\cos A}{\sin A } = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \end{align} $
Cara II : Menggunakan segitiga siku-siku :
*). Diketahui nilai $ \sin A = x \rightarrow \sin A = \frac{de}{mi} = \frac{x}{1} $
Artinya nilai sisi depan $ x \, $ dan sisi miring $ a \, $ , berdasarkan pythagoras diperoleh sisi sampingnya $ \sqrt{1-x^2} $ .
*). ilustrasi gambarnya :
$ \begin{align} \cos A & = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2} \\ \tan A & = \frac{de }{sa} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \sec A & = \frac{1}{\cos A } = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \csc A & = \frac{1}{\sin A } = \frac{1}{x} \\ \cot A & = \frac{sa}{de } = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \end{align} $
