Penyelesaian Persamaan Trigonometri untuk Sinus, Cosinus, dan Tan
Berikut penyelesaian persamaan trigonometrinya :
$\clubsuit $ Persamaan Sinus : $ \sin f(x) = \sin \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k . 2 \pi \, $ dan $ \, f(x) = (180^\circ - \theta ) + k . 2 \pi $
$\clubsuit $ Persamaan Cosinus : $ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k . 2 \pi \, $ dan $ \, f(x) = - \theta + k . 2 \pi $
$\clubsuit $ Persamaan Tan : $ \tan f(x) = \tan \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k . \pi \, $
dengan nilai $ \pi = 180^\circ \, $ dan $ k \, $ adalah bilangan bulat.
$\clubsuit $ Persamaan Sinus : $ \sin f(x) = \sin \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k . 2 \pi \, $ dan $ \, f(x) = (180^\circ - \theta ) + k . 2 \pi $
$\clubsuit $ Persamaan Cosinus : $ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k . 2 \pi \, $ dan $ \, f(x) = - \theta + k . 2 \pi $
$\clubsuit $ Persamaan Tan : $ \tan f(x) = \tan \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k . \pi \, $
dengan nilai $ \pi = 180^\circ \, $ dan $ k \, $ adalah bilangan bulat.
Catatan :
*). Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, persamaan harus kita ubah dulu seperti bentuk di atas.
*). Dari bentuk penyelesaian persamaan trigonometri di atas, dapat disimpulkan bahwa penyelesaiannya banyak sekali (tak hingga). Tapi tenang saja, biasanya solusinya hanya diminta dalam rentang atau interval tertentu saja. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.
*). Jika bentuk persamaannya selain bentuk umum di atas, selesaikan dulu persamaannya sehingga diperoleh nilai salah satu trigonometri , misalkan nilai sin atau cos atau tan, kemudian gunakan penyelesaian di atas untuk menemukan solusi yang lainnya. Salah satu caranya adalah dengan memisalkan persamaan yang ada atau langsung difaktorkan.
Contoh :
1). Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan trigonometri berikut untuk interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
a). $ \sin 2 x - \frac{1}{2} = 0 $
b). $ \cos x - \frac{1}{2} \sqrt{3} = 0 $
c). $ \tan 3x + \sqrt{3} = 0 $
Penyelesaian :
a). Persamaannya : $ \sin 2 x - \frac{1}{2} = 0 $
*). Mengubah persamaan ,
$ \sin 2 x - \frac{1}{2} = 0 \rightarrow \sin 2x = \frac{1}{2} \rightarrow \sin 2x = \sin 30^\circ $
Artinya diperoleh : $ f(x) = 2x \, $ dan $ \theta = 30^\circ $
*). Menentukan penyelesaian sinus :
Pertama : $ f(x) = \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 360^\circ \\ 2x & = 30^\circ + k \times 360^\circ \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 15^\circ + k \times 180^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 15^\circ + (-1) \times 180^\circ \\ & = 15^\circ - 180^\circ \\ & = -165^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 15^\circ + 0 \times 180^\circ \\ & = 15^\circ + 0 \\ & = 15^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 15^\circ + 1 \times 180^\circ \\ & = 15^\circ + 180^\circ \\ & = 195^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 2 \rightarrow x & = 15^\circ + 2 \times 180^\circ \\ & = 15^\circ + 360^\circ \\ & = 375^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi pertama diperoleh : $ \{ 15^\circ , \, 195^\circ \} $
Kedua : $ f(x) = (180^\circ - \theta ) + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = (180^\circ - \theta ) + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = (180^\circ - \theta ) + k \times 360^\circ \\ f(x) & = (180^\circ - 30^\circ ) + k \times 360^\circ \\ 2x & = 150^\circ + k \times 360^\circ \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 75^\circ + k \times 180^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 75^\circ + (-1) \times 180^\circ \\ & = 75^\circ - 180^\circ \\ & = -105^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 75^\circ + 0 \times 180^\circ \\ & = 75^\circ + 0 \\ & = 75^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 75^\circ + 1 \times 180^\circ \\ & = 75^\circ + 180^\circ \\ & = 255^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 2 \rightarrow x & = 75^\circ + 2 \times 180^\circ \\ & = 75^\circ + 360^\circ \\ & = 435^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi kedua diperoleh : $ \{ 75^\circ , \, 255^\circ \} $
Jadi, penyelesaian nilai $ x \, $ adalah $ \{ 15^\circ , \, 75^\circ, \, 195^\circ, \, 255^\circ \} $
b). Persamaannya : $ \cos x - \frac{1}{2} \sqrt{3} = 0 $
*). Mengubah persamaan ,
$ \cos x - \frac{1}{2} \sqrt{3} = 0 \rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \sqrt{3} \rightarrow \cos x = \cos 30^\circ $
Artinya diperoleh : $ f(x) = x \, $ dan $ \theta = 30^\circ $
*). Menentukan penyelesaian cosinus :
Pertama : $ f(x) = \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 360^\circ \\ x & = 30^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 30^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 30^\circ - 360^\circ \\ & = -330^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 30^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 30^\circ + 0 \\ & = 30^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 30^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 30^\circ + 360^\circ \\ & = 390^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi pertama diperoleh : $ \{ 30^\circ \} $
Kedua : $ f(x) = - \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = - \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = -\theta + k \times 360^\circ \\ x & = -30^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = -30^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = -30^\circ - 360^\circ \\ & = -390^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = -30^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = -30^\circ + 0 \\ & = -30^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = -30^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = -30^\circ + 360^\circ \\ & = 330^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi kedua diperoleh : $ \{ 330^\circ \} $
Jadi, penyelesaian nilai $ x \, $ adalah $ \{ 30^\circ , \, 330^\circ \} $
c). Persamaannya : $ \tan 3x + \sqrt{3} = 0 $
*). Mengubah persamaan ,
$ \tan 3x + \sqrt{3} = 0 \rightarrow \tan 3x = - \sqrt{3} \rightarrow \tan 3x = \tan 120^\circ $
Artinya diperoleh : $ f(x) = 3x \, $ dan $ \theta = 120^\circ $
*). Menentukan penyelesaian Tan :
Solusinya :$ f(x) = \theta + k . \pi \rightarrow f(x) = \theta + k \times 180^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 180^\circ \\ 3x & = 120^\circ + k \times 180^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = 40^\circ + k \times 60^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 40^\circ + (-1) \times 60^\circ \\ & = 40^\circ - 60^\circ \\ & = -20^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 40^\circ + 0 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 0 \\ & = 40^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 40^\circ + (1) \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 60^\circ \\ & = 100^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 2 \rightarrow x & = 40^\circ + 2 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 120^\circ \\ & = 160^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 3 \rightarrow x & = 40^\circ + 3 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 180^\circ \\ & = 220^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 4 \rightarrow x & = 40^\circ + 4 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 240^\circ \\ & = 280^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 5 \rightarrow x & = 40^\circ + 5 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 300^\circ \\ & = 340^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 6 \rightarrow x & = 40^\circ + 6 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 360^\circ \\ & = 400^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ adalah $ \{ 40^\circ , 100^\circ , 160^\circ , 220^\circ , 280^\circ , 340^\circ \} $
2). Himpunan semua peubah $ x \, $ dalam selang $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ yang memenuhi $ 2\cos ^2 x = 3\sin x + 3 $ ?
Penyelesaian :
*). Bentuk persamaannya tidak umum, sehingga harus diselesaikan dulu.
*). Gunakan identitas untuk menyamakan trigonometrinya yaitu :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Menentukan nilai sin dengan memfaktorkan :
$ \begin{align} 2\cos ^2 x & = 3\sin x + 3 \\ 2( 1 - \sin ^2 x ) & = 3\sin x + 3 \\ 2 - 2 \sin ^2 x & = 3\sin x + 3 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & = 0 \\ (2 \sin x + 1) ( \sin x + 1) & = 0 \\ (2 \sin x 1) = 0 \vee ( \sin x + 1) & = 0 \\ \sin x = - \frac{1}{2} \vee \sin x & = -1 \end{align} $
*). Disini kita langsung menentukan besar sudut yang memenuhi persamaan :
$ \sin x = - \frac{1}{2} \rightarrow x = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} , \, x = 330^\circ = \frac{11\pi}{6} $
$ \sin x = - 1 \rightarrow x = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ \{ \frac{7\pi}{6} , \, \frac{7\pi}{6} , \, \frac{11\pi}{6} \} $
Mengubah bentuk $ a \sin f(x) + b \cos f(x) $
Bentuk $ a \sin f(x) + b \cos f(x) \, $ dapat diubah menjadi bentuk :
$ a \sin f(x) + b \cos f(x) = k \cos \left( f(x) - \theta \right) $
dengan : $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } \, $ dan $ \tan \theta = \frac{\text{koefisien } \sin }{ \text{koefisien } \cos } = \frac{a}{b} $
dan syaratnya adalah kedua sudut sinus dan cosinus.
$ a \sin f(x) + b \cos f(x) = k \cos \left( f(x) - \theta \right) $
dengan : $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } \, $ dan $ \tan \theta = \frac{\text{koefisien } \sin }{ \text{koefisien } \cos } = \frac{a}{b} $
dan syaratnya adalah kedua sudut sinus dan cosinus.
Contoh :
3). Ubahlah bentuk berikut menjadi bentuk sederhanan :
a). $ \sin x + \sqrt{3} \cos x $
b). $ 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) $
Penyelesaian :
a). Bentuk $ \sin x + \sqrt{3} \cos x = k \cos ( x - \theta ) $
artinya : $ a = 1 \, $ dan $ b = \sqrt{3} $
sehingga nilai : $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 } = \sqrt{1 + 3} = 2 $
Sudutnya : $ \tan \theta = \frac{a}{b} \rightarrow \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \rightarrow \theta = 30 ^\circ $
Diperoleh bentuk sederhananya :
$ \sin x + \sqrt{3} \cos x = k \cos ( x - \theta ) \rightarrow \sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \cos ( x - 30 ^\circ ) $
Jadi, bentuk sederhana dari $ \sin x + \sqrt{3} \cos x \, $ adalah $ 2 \cos ( x - 30 ^\circ ) $
b). Bentuk $ 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) = k \cos ( 5x - \theta ) $
artinya : $ a = 2\sqrt{3} \, $ dan $ b = - 2 $
sehingga nilai : $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (- 2)^2 } = \sqrt{12 + 4} = 4 $
Sudutnya : $ \tan \theta = \frac{a}{b} \rightarrow \tan \theta = \frac{ 2\sqrt{3}}{- 2} = -\sqrt{3} \rightarrow \theta = 120 ^\circ $
Diperoleh bentuk sederhananya :
$ 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) = k \cos ( 5x - \theta ) \rightarrow 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) = 4 \cos ( 5x - 120 ^\circ ) $
Jadi, bentuk sederhana dari $ 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) \, $ adalah $ 4 \cos ( 5x - 120 ^\circ ) $
4). Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ \sin x - \cos x = 1 \, $ untuk $ x \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $ ?
Penyelesaian :
*). Menyederhanakan bentuk ruas kiri dari persamaan : $ \sin x - \cos x = 1 $
$ \sin x - \cos x = k \cos (x - \theta ) , \, $ artinya $ a = 1 \, $ dan $ b = -1 $
Nilai $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } = \sqrt{1^2 + (-1)^2 } = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $
Sudutnya : $ \tan \theta = \frac{a}{b} \rightarrow \tan \theta = \frac{ 1}{- 1} = -1 \rightarrow \theta = 135 ^\circ $
Diperoleh bentuk sederhananya :
$ \sin x - \cos x = k \cos (x - \theta ) \rightarrow \sin x - \cos x = \sqrt{2} \cos (x - 135 ^\circ ) $
*). Persamaannya menjadi : $ \sin x - \cos x = 1 \rightarrow \sqrt{2} \cos (x - 135 ^\circ ) = 1 $
*). Menyelesaikan pertidaksamaan :
$ \sqrt{2} \cos (x - 135 ^\circ ) = 1 \rightarrow \cos (x - 135 ^\circ ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \rightarrow \cos (x - 135 ^\circ ) = \cos 45^\circ $
Artinya : $ f(x) = x - 135 ^\circ \, $ dan $ \theta = 45^\circ $
*). Menentukan penyelesaian cosinus :
Pertama : $ f(x) = \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 360^\circ \\ x - 135 ^\circ & = 45^\circ + k \times 360^\circ \\ x & = 180^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 180^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 180^\circ - 360^\circ \\ & = -180^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 180^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 180^\circ + 0 \\ & = 180^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 180^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 180^\circ + 360^\circ \\ & = 540^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi pertama diperoleh : $ \{ 180^\circ \} $
Kedua : $ f(x) = - \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = - \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = -\theta + k \times 360^\circ \\ x - 135 ^\circ & = -45^\circ + k \times 360^\circ \\ x & = 90^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 90^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 90^\circ - 360^\circ \\ & = -270^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 90^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 90^\circ + 0 \\ & = 90^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 90^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 90^\circ + 360^\circ \\ & = 550^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi kedua diperoleh : $ \{ 90^\circ \} $
Jadi, penyelesaian nilai $ x \, $ adalah $ \{ 90^\circ , \, 180^\circ \} $
