Penyelesaian limit fungsi trigonometri biasanya dilakukan dengan substitusi terlebih dahulu. Jika hasilnya bentuk tak tentu, maka kita lanjutkan prosesnya dengan cara pemfaktoran, terkadang kalikan bentuk sekawannya, dan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri, serta bisa menggunakan turunan. Bentuk tentu dan bentuk tak tentu hasil limit suatu fungsi bisa dibaca lebih lanjut pada artikel "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar". Soal-soal yang biasanya adalah soal-soal dengan hasil limitnya bentuk tak tentu yang akan kita selesaikan dengan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri.
Sifat-sifat limit fungsi Trigonometri
Untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri salah satu caranya adalah menggunakan sifat-sifat limit fungsi
trigonometri yaitu :
$\clubsuit $ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri paling dasar
i). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x }{x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{ax} = 1 $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\sin ax} = 1 $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x }{x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax }{ax} = 1 $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\tan ax} = 1 $
$\clubsuit $ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri Lebih Umum
i). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
Catatan : Untuk bentuk fungsi $ cos $, maka harus diubah dulu menjadi bentuk $ sin $ agar bisa menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri. Untuk pembuktian sifat-sifat di atas, silahkan baca pada artikel "pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri".
$\clubsuit $ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri paling dasar
i). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x }{x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{ax} = 1 $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\sin ax} = 1 $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x }{x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax }{ax} = 1 $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\tan ax} = 1 $
$\clubsuit $ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri Lebih Umum
i). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
Catatan : Untuk bentuk fungsi $ cos $, maka harus diubah dulu menjadi bentuk $ sin $ agar bisa menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri. Untuk pembuktian sifat-sifat di atas, silahkan baca pada artikel "pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri".
1). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{3 \sin 5 x} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 7\tan 2x }{ 4x} \, \, \, $ d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{ 9\tan 2x} $
Penyelesaian :
a). Kita menggunakan dua cara :
Cara I : Menggunakan sifat Dasar, $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{ax} = 1 $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} \times \frac{3x}{3x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{3x} \times \frac{3x}{5x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{3x} \times \frac{3}{5} \\ & = 1 \times \frac{3}{5} \\ & = \frac{3}{5} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} = \frac{3}{5} $
Cara II : Menggunakan sifat umum , $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} & = \frac{3}{5} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} = \frac{3}{5} $
Catatan : Untuk soal sisanya kita menggunakan sifat umum saja.
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{3 \sin 5 x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{\sin 5 x} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 7\tan 2x }{ 4x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 7 \times \frac{ \tan 2x }{ 4x} = 7 \times \frac{2}{4} = \frac{7}{2} $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{ 9\tan 2x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{ \tan 2x} \times \frac{1}{9} = \frac{2}{2} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{9} $
2). Tentukan penyelesaian limit fungsi trigonometri berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 6x }{\tan 2x} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{\tan 2x} \, \, \, $ d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 4x }{\sin 8x} \, \, \, $ e). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } 3x . \cot 7x $
Penyelesaian :
a). Kita menggunakan dua cara,
Cara I : Menggunakan sifat dasar,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} . \frac{2x}{2x} . \frac{3x}{3x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{2x} . \frac{3x }{\sin 3x}. \frac{2x}{3x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{2x} . \frac{3x }{\sin 3x}. \frac{2}{3} \\ & = 1 . 1 . \frac{2}{3} \\ & = \frac{2}{3} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} = \frac{2}{3} $
Cara II : Mengunakan sifat umum : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} = \frac{2}{3} \end{align} $
Catatan : Untuk soal sisanya kita menggunakan sifat umum saja.
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 6x }{\tan 2x} = \frac{6}{2} = 3 $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{\tan 2x} = \frac{3}{2} $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 4x }{\sin 8x} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } 3x . \cot 7x = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 3x . \frac{1}{\tan 7x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{3x }{\tan 7x} = \frac{3}{7} $
Ingat : $ \cot A = \frac{1}{\tan A } $
3). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri di bawah ini :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2 - 2 \cos 2x }{3x^2} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\cos 2x }{x - \frac{\pi}{4}} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 - \cos x }{x \sin 2x} \, \, \, $ d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{3x + \sin 2 x }{5x} $
Penyelesaian :
Kita langsung menggunakan sifat umum dan persamaan trigonometri.
a). Ingat rumus : $ \cos 2x = 1 - 2\sin ^2 x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2 - 2 \cos 2x }{3x^2} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(1 - \cos 2x ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(1 - [ 1 - 2\sin ^2 x ] ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(1 - 1 + 2\sin ^2 x ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(2\sin ^2 x ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{4\sin x \sin x }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 4. \frac{\sin x }{3x } . \frac{\sin x }{ x} \\ & = 4. \frac{1 }{3 } . 1 \\ & = \frac{ 4 }{3 } \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2 - 2 \cos 2x }{3x^2} = \frac{ 4 }{3 } $
b). Ingat rumus : $ \cos 2x = 1 - 2\sin ^2 x \, $ dan $ \, \cos (\frac{\pi}{2} + A) = - \sin A $
Misalkan : $ p = x - \frac{\pi}{4} \rightarrow x = p + \frac{\pi}{4} $
Untuk $ x \, $ mendekati $ \frac{\pi}{4} \, $ maka $ p \, $ mendekati 0.
Substitusi permisalan di atas semua ke limintnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\cos 2x }{x - \frac{\pi}{4}} & = \displaystyle \lim_{x - \frac{\pi}{4} \to 0 } \frac{\cos 2x }{x - \frac{\pi}{4}} \\ & = \displaystyle \lim_{p \to 0 } \frac{\cos 2(p + \frac{\pi}{4}) }{p} \\ & = \displaystyle \lim_{p \to 0 } \frac{\cos ( \frac{\pi}{2} + 2p ) }{p} \\ & = \displaystyle \lim_{p \to 0 } \frac{ - \sin 2p }{p} \\ & = - \frac{2}{1} \\ & = - 2 \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\cos 2x }{x - \frac{\pi}{4}} = -2 $
c). Ingat rumus : $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{p}{2} x $
Sehingga : $ \cos x = \cos 1.x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 - \cos x }{x \sin 2x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 - (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x ) }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 - 1 + 2\sin ^2 \frac{1}{2} x }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2\sin ^2 \frac{1}{2} x }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 2 . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{x } . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{\sin 2x} \\ & = 2 . \frac{ \frac{1}{2} }{1} . \frac{ \frac{1}{2} }{ 2 } \\ & = 2 . \frac{1}{2}. \frac{1}{4} \\ & = \frac{1}{4} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 - \cos x }{x \sin 2x} = \frac{1}{4} $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{3x + \sin 2 x }{5x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{3x }{5x} + \frac{ \sin 2 x }{5x} \right) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1 $
4). Tentukan nilai limit dari fungsi trigonometri berikut.
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } x \sin \frac{1}{x} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x - \sin x}{4x^3} $
Penyelesaian :
a). Misalkan : $ y = \frac{1}{x} \rightarrow x = \frac{1}{y} $
Untuk $ x \, $ mendekati $ \infty \, $ maka $ y \, $ mendekati 0. ($ y = \frac{1}{x} = \frac{1}{\infty} = 0 $) .
Substitusikan semua permisalannya ake limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } x \sin \frac{1}{x} & = \displaystyle \lim_{\frac{1}{x} \to \frac{1}{\infty} } x \sin \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{ y \to 0 } \frac{1}{y} . \sin y \\ & = \displaystyle \lim_{ y \to 0 } \frac{\sin y}{y} \\ & = 1 \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } x \sin \frac{1}{x} = $
b). Ingat rumus : $ \cos x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x \, $ dan $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x } $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x - \sin x}{4x^3} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{4x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos x} }{4x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin x - \sin x \cos x}{\cos x} }{4x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x - \sin x \cos x }{4x^3 . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x ( 1 - \cos x ) }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x ( 1 - [ 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x ] ) }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x ( 2\sin ^2 \frac{1}{2} x ) }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2\sin x . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2}{4} . \frac{ \sin x }{x } . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{x } . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{x } . \frac{1}{\cos x} \\ & = \frac{1}{2} . 1 . \frac{ \frac{1}{2} }{1 } . \frac{ \frac{1}{2} }{1} . \frac{1}{\cos 0} \\ & = \frac{1}{2} . 1 . \frac{1}{2}. \frac{1}{2}. \frac{1}{1} \\ & = \frac{1}{8} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x - \sin x}{4x^3} = \frac{1}{8} $
Kaitan Limit fungsi Trigonometri dan Fungsi Aljabar
Penyelesaian limit yang ada kaitan limit fungsi trigonometri dan fungsi aljabar menggunakan sifat-sifat berikut :
i). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin af(x) }{bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ af(x) }{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\tan af(x) }{bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ af(x) }{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin af(x) }{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ \tan af(x) }{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin af(x) }{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ \tan af(x) }{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} $
Dengan syarat : $ f(k) = 0 $
i). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin af(x) }{bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ af(x) }{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\tan af(x) }{bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ af(x) }{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin af(x) }{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ \tan af(x) }{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin af(x) }{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ \tan af(x) }{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} $
Dengan syarat : $ f(k) = 0 $
5). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x - 1) }{x^2 - 1} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ x^2 + x -6}{ \tan ( x - 2) } \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} - 2 } $
Penyelesaian :
a). Faktorkan bentuk aljabarnya : $ p^2 - q^2 = (p-q)(p+q) $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x - 1) }{x^2 - 1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x - 1) }{(x-1)(x+1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x - 1) }{(x-1)} . \frac{1}{x+1} \\ & = 1 . \frac{1}{1+1} \\ & = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x - 1) }{x^2 - 1} = \frac{1}{2} $
b). Faktorkan bentuk aljabarnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ x^2 + x -6}{ \tan ( x - 2) } & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x-2)(x+3)}{ \tan ( x - 2) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x-2)}{ \tan ( x - 2) } . (x+3) \\ & = 1 . (2+3) \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ x^2 + x -6}{ \tan ( x - 2) } = 5 $
c). Kalikan sekawan bentuk akarnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} - 2 } & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} - 2 } \times \frac{\sqrt{ 4 + x} + 2 }{\sqrt{ 4 + x} + 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ (4+x) - 4 } \times (\sqrt{ 4 + x} + 2 ) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ x } \times (\sqrt{ 4 + x} + 2 ) \\ & = 1 \times (\sqrt{ 4 + 0} + 2 ) \\ & = 1 \times (2 + 2 ) \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} - 2 } = 4 $
6). Tentukan nilai $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \, $ untuk fungsi $ f(x) = \cos x $
Penyelesaian :
*). Ingat bentuk : $ \cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
Sehingga : $ f(x+h) = \cos (x + h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h $
*). Rumus : $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sehingga : $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $
bentuk : $ \cos h - 1 = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h - \sin x \sin h) - \cos x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h - \cos x ) - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h - 1 ) - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h - 1 ) }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) - \sin x . 1 \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) - \sin x \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (0 ) - \sin x \\ & = 0- \sin x \\ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} & = - \sin x \end{align} $
Silahkan teman-teman juga simak dan pelajari materi limit tak hingga dengan fungsi trigonometri yaitu pada artkel "Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri".
