Sifat-sifat determinan matriks
Misalkan ada matriks A, B, dan C yang memiliki nilai determinan. Berikut beberapa sifat-sifat determinan :
1). $ |A^t| = |A| $
2). $ |A.B| = |A| . |B| $
3). $ |A^n| = |A|^n $
4). $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
5). $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A| $
Untuk sifat nomor 2, bisa juga diperumum untuk perkalian lebih dari dua matriks, misalkan $ |A.B.C| = |A|.|B|.|C| $ dan seterusnya.
1). $ |A^t| = |A| $
2). $ |A.B| = |A| . |B| $
3). $ |A^n| = |A|^n $
4). $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
5). $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A| $
Untuk sifat nomor 2, bisa juga diperumum untuk perkalian lebih dari dua matriks, misalkan $ |A.B.C| = |A|.|B|.|C| $ dan seterusnya.
Contoh :
1). Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} -2 & -1 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right) $
Tentukan nilai dari
a). $ |A| \, $ dan $ |B| $
b). $ |A^t| $
c). $ |A.B| $
d). $ |A^5| $
e). $ |A^{-1}| $
f). $ |3A| $
Penyelesaian : Kita akan menggunakan sifat-sifat determinan
a). $ |A| = 4.3 - 2.5 = 12 - 10 = 2 \, $ dan $ |B| = (-2).1 - (-1).(-3) = -2 - 3 = -5 $
b). untuk menentukan nilai $ |A^t| \, $ kita menggunakan sifat nomor 1, artinya determinan transpsosenya sama dengan determinan matriks awalnya.
sehingga $ |A^t| = |A| = 2 $
c). Sifat determinan nomor 2, artinya kita tidak perlu mencari hasil perkalian $ AB \, $ lalu mencari determinannya.
sehingga $ |A.B| = |A|.|B| = 2 . (-5) = -10 $
d). Kita tidak perlu mencari nilai $ A^5 \, $ , langsung menggunakan sifat nomor 3.
sehingga $ |A^5| = |A|^5 = 2^5 = 32 $
e). sifat nomor 4, kita tidak perlu mencari nilai $ A^{-1} \, $ (inversnya).
sehingga $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{2} $
f). Sifat nomor 5 , kita tidak mengalikan 3 dengan matriks A.
sehingga $ |3A_{2 \times 2}| = 3^2 . |A| = 9 . 2 = 18 $
2). Suatu matriks A berordo $ 3 \times 3 \, $ memiliki nilai determinan 5, tentukan nilai determinan 2A ?
Penyelesaian :
Berdasarkan sifat nomor 5,
$ |2A| = |2A_{3 \times 3} | = 2^3 . |A| = 8 . 5 = 40 $
Jadi, determinan matriks 2A adalah 40.
3). Dari persamaan matriks berikut
$ \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) A \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) $
tentukan nilai determinan matriks A ?
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal ini, kita tidak perlu mencari matriks A terlebih dahulu karena akan sulit dan butuh waktu yang lama. Kita langsung menggunakan sifat determinan nomor 2 dengan cara ruas kiri dan ruas kanan kita kasih determinan.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) A \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ \left| \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) A \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) \right| & = \left| \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \right| \\ \left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| . \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| . \left|A \right| .\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right| & = \left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right|.\left| \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right| \\ (4.3-2.5).(1.3-2.2).|A|.(2.6-2.1) & = (4.10-0.2).(0.3-3.1) \\ (12-10).(3-4).|A|.(12-2) & = (40 - 0).(0 - 3) \\ 2.(-1).|A|.(10) & = (40).(- 3) \\ (-20).|A| & = -120 \\ |A| & = \frac{-120}{-20} = 6 \end{align} $
Jadi, nilai determinan matriks A adalah 6.
Sifat-sifat invers matriks
Misalkan ada matriks A, B, dan C yang memiliki invers serta I adalah matriks identitas. Berikut beberapa sifat-sifat invers :
1). $ (A^{-1})^{-1} = A $
2). $ A^{-1} . A = A.A^{-1} = I $
3). $ AB = I \, $ artinya A dan B saling invers yaitu $ A^{-1} = B \, $ dan $ B^{-1} = A $
4). $ (AB)^{-1} = B^{-1} . A^{-1} $
5). $ AB = C \, \text{ maka } \, \left\{ \begin{array}{c} A = C.B^{-1} \\ B = A^{-1} . C \end{array} \right. $
1). $ (A^{-1})^{-1} = A $
2). $ A^{-1} . A = A.A^{-1} = I $
3). $ AB = I \, $ artinya A dan B saling invers yaitu $ A^{-1} = B \, $ dan $ B^{-1} = A $
4). $ (AB)^{-1} = B^{-1} . A^{-1} $
5). $ AB = C \, \text{ maka } \, \left\{ \begin{array}{c} A = C.B^{-1} \\ B = A^{-1} . C \end{array} \right. $
Contoh :
1). Dari persamaan matriks $ \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) X = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \, $ tentukan matriks X yang berordo $ 2 \times 2 \, $ ?
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal ini kita menggunakan sifat nomor 5 pada sifat-sifat invers yaitu $ AB = C \rightarrow B = A^{-1}. C $
langsung kita gunakan sifat nomor 5.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) X & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ X & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right)^{-1} . \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{ (menentukan invers)} \\ X & = \frac{1}{4.3 - 2.5} . \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ -5 & 4 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ X & = \frac{1}{2} . \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ -5 & 4 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{ (menentukan perkalian)} \\ X & = \frac{1}{2} . \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right) \\ X & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{-1}{2} & 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, diperoleh mariks $ X = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{-1}{2} & 1 \end{matrix} \right) $
2). Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B^{-1} = \left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right) \, , $ tentukan nilai $ (A^{-1}. B)^{-1} $
Penyelesaian :
Kita menggunakan sifat nomor 1 dan nomor 4 pada sifat-sifat invers
$ \begin{align} (A^{-1}. B)^{-1} & = (B)^{-1} . (A^{-1})^{-1} \, \, \, \, \text{(sifat nomor 4)} \\ & = (B)^{-1} . A \, \, \, \, \text{(sifat nomor 1)} \\ & = \left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 14 & 1 \\ 27 & 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, diperoleh hasil $ (A^{-1}. B)^{-1} = \left( \begin{matrix} 14 & 1 \\ 27 & 6 \end{matrix} \right) $
Dari contoh soal-soal dan pembahasan di atas, tentu kita berpikir bahwa dengan menggunakan sifat-sifat determinan dan invers matriks akan sangat memudahkan kita dalam menyelesaikan soal-soalnya. Untuk pendalaman penggunaan sifat-sifatnya, silahkan teman-teman baca dan latihan pada kumpulan soal-soal matriks seleksi masuk perguruan tinggi.
