Processing math: 100%

Pertidaksamaan secara Umum


         Blog Koma - Pertidaksamaan adalah kalimat matematika yang memuat tanda ketaksamaan. Tanda ketaksamaan terdiri dari : <,>,,,. Pertidaksamaan termasuk materi yang luas cakupannya , diantaranya pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, pertidaksamaan bentuk nilai mutlak, pertidaksamaan eksponen, pertidaksamaan logaritma, dan lainnya. Salah satu hal penting yang harus dikuasai untuk mampu menyelesaikan pertidaksamaan adalah tentang sifat-sifat pertidaksamaan.

Penjelasan Tanda Ketaksamaan
       Pada pertidaksamaan memuat tanda ketaksamaan : <,>,,,. Berikut penjelasannya masing-masing,

Tanda < dibaca kurang dari atau lebih kecil
x<2 artinya nilai x yang memenuhi harus kurang dari 2 dan dua tidak boleh ikut.
Himpunannya : x={...,1,0,1} ,
garis bilangannya :
Tanda dibaca kurang dari sama dengan atau lebih kecil sama dengan
x2 artinya nilai x yang memenuhi harus lebih kecil dan sama dengan dari 2 (dua boleh ikut).
Himpunannya : x={...,1,0,1,2} ,
garis bilangannya :
Tanda > dibaca lebih dari atau lebih besar
x>3 artinya nilai x yang memenuhi harus lebih besar dari -3 (-3 tidak boleh ikut).
Himpunannya : x={2,1,0,1,...} ,
garis bilangannya :
Tanda dibaca lebih dari sama dengan atau lebih besar sama dengan
x3 artinya nilai x yang memenuhi harus lebih besar dan sama dengan dari -3 (-3 boleh ikut).
Himpunannya : x={3,2,1,0,1,...} ,
garis bilangannya :
Berikut beberapa contoh pertidaksamaan :
2x+1<0,3x+4x26,x23x+4>0,
2x+5x1,|x+5|3x7,x2x+20

Penyelesaian Pertidaksamaan
       Penyelesaian yang dimaksud adalah semua nilai variabel yang ada (misal x) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Misal, penyelesaian pertidaksamaan 2x+4<0 adalah x>2, artinya untuk semua nilai x yang memenuhi x>2 pasti juga akan memenuhi 2x+4<0. Contoh, x=3 , maka 2.(3)+4=2<0
Cara menentukan tanda + atau pada garis bilangan
       Untuk menentukan tanda + atau pada garis bilangan, nolkan ruas kanan pertidaksamaan, kemudian pilih angka dari selang yang terbentuk pada garis bilangan dan substitusikan ke persamaan yang terbentuk di ruas kiri.
Contoh
1). 2x132x40
akar-akarnya : 2x4=02x=4x=2
garis bilangannya :
*). Pilih salah satu angka di sebelah kiri 2, misalkan nol
x=02x4=2.04=4
hasilnya negatif, artinya tanda di sebelah kiri 2 negatif()
*). Pilih salah satu angka di sebelah kanan 2, misalkan 4
x=42x4=2.44=4
hasilnya positif, artinya tanda di sebelah kanan 2 positif(+)
Garis bilangan dan tandanya :
2). Pertidaksamaan 2x2+2x1<1x
*). Menentukan akar-akar, nolkan ruas kanan.
2x2+2x1<1x2x2+2x1+x1<02x2+3x2<0(2x1)(x+2)=0x=12x=2
Garis bilangannya
*). Menentukan tandanya
Terbentuk tiga selang/interval, pilih satu angka pada setiap selang dan substitusi ke (2x1)(x+2)
Interval pertama : <x<2 , pilih x=3
x=3(2x1)(x+2)=(2.(3)1)(3+2)=7.(1)=7 (tanda +)
Interval kedua : 2<x<12 , pilih x=0
x=0(2x1)(x+2)=(2.(0)1)(0+2)=1.2=2 (tanda )
Interval ketiga : 12<x< , pilih x=1
x=1(2x1)(x+2)=(2.(1)1)(1+2)=1.3=3 (tanda +)
Garis bilangan dan tandanya :
Catatan :
*). Biasanya tanda pada semua interval selang-seling (misalkan +, - , + , - , atau -, + , - , + )
*). Untuk penjelasan yang lebih mendalam tentang garis bilangan, silahkan baca artikelnya pada "Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan"

Langkah-langkah umum menyelesaiakan pertidaksamaan
       Langkah - langkah berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan semua jenis pertidaksamaan :

Solusi Umum (HP1) :
1). Nolkan ruas kanan
2). Tentukan akar-akar (pembuat nolnya) dari pertidaksamaan dengan cara mengubah ketaksamaan menjadi sama dengan (=) lalu difaktorkan.
3). Tuliskan akar-akar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap intervalnya ( + atau setiap daerah)
4). Arsir daerah yang sesuai ( > untuk + , dan < untuk )
5). Tulis himpunan penyelesaiannya (HP1)

Solusi syarat-syarat jika ada ( HP2 ).
*). caranya sama dengan solusi umum di atas
*). solusi syarat biasanya ada pada pertidaksamaan pecahan, bentuk akar, dan logaritma.

Solusi totalnya adalah irisan HP1 dan HP2

Contoh
1). Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x1<7 adalah ....?
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akarnya
2x1<72x1=72x=8x=4
*). garis bilangan dan mengarsir daerahnya (diminta < , arsir negatif)
Jadi, himpunan penyelesaian HP ={x<4}

2). Pertidaksamaan ax3>15 mempunyai penyelesaian x>6.
Nilai a yang memenuhi adalah ....?
Penyelesaian :
Cara I :
Solusi dari pertidaksamaan diperoleh dari akar-akar pertidaksamaan dengan mengubah tanda ketaksamaan menjadi sama dengan.
Solusinya x>6 artinya akar-akarnya adalah x=6
Substitusi x=6 ke persamaan :
x=6ax3>15a.63=156a=15+36a=18a=3
Jadi, nilai a=3

Cara II :
Modifikasi pertidaksamaannya
ax3>15ax>18x>18a
Solusinya x>6
x>18ax>6} bentuknya sama
Sehingga 18a=6a=186=3
Jadi, nilai a=3

3). Pertidaksamaan 3xa<5x23ax54 mempunyai penyelesaian x<1 .
Tentukan nilai a?
Penyelesaian :
Solusinya x<1 , artinya akarnya adalah x=1
Substitusi x=1 ke pertidaksamaan dan ubah ketaksamaannya menjadi sama dengan.
x=13xa<5x23ax543.1a=5.123a.1543a=33a543a=1a54(kali 4)124a=4(a5)3a=3a=1
Jadi, nilai a=1

4). Pertidaksamaan ax2+bx30 mempunyai penyelesaian 12x3 .
Tentukan nilai a+b?
Penyelesaian :
Solusinya 12x3 , akar-akarnya adalah x=12 dan x=3
Substitusi akar-akarnya ke pertidaksamaan :
x=12ax2+bx30a(12)2+b.(12)3=0a(14)b.(12)3=0(kali 4)a2b12=0a2b=12...pers(i)x=3ax2+bx30a(3)2+b.(3)3=09a+3b=3...pers(ii)
Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
a2b=12kali 33a6b=369a+3b=3kali 218a+6b=6+21a=42a=2
Pers(i) : a2b=1222b=12b=5
Sehingga nilai a+b=2+(5)=3
Jadi, nilai a+b=3

Irisan dan Gabungan dua himpunan
       Irisan lambangnya dan gabungan lambangnya
Hasil irisan dua himpunan adalah himpunan nilai yang sama yang terdapat pada kedua himpunan.
Hasil gabungan dua himpunan adalah himpunan semua nilai yang terdapat pada kedua himpunan.

Contoh
1). Himpunan A={1,2,3,4,5,6} dan himpunan B={2,3,4,6,7,8}
*). Irisannya : AB={2,3,4} (ambil yang sama saja dari kedua himpunan)
*). Gabungannya : AB={1,2,3,4,5,6,7,8} (diambil semua, yang sama ditulis satu kali)

2). Diketahui : HP1={2<x<4},HP2={0<x<5}
*). Irisannya : HP1HP2={0<x<4}
*). Gabungannya : HP1HP2={2<x<5}
garis bilangannya :

       Pertidaksamaan secara umum mempunyai penyelesaian seperti di atas. Artinya apapun jenis pertidaksamaannya, penyelesaiannya sama saja mengikuti langkah-langkah umum di atas. Namun untuk lebih maksimal, silahkan baca artikel pertidaksamaan secara lebih khusus, yaitu pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.