Penjelasan Tanda Ketaksamaan
Pada pertidaksamaan memuat tanda ketaksamaan : <,>,≤,≥,≠. Berikut penjelasannya masing-masing,
♠ Tanda < dibaca kurang dari atau lebih kecil
x<2 artinya nilai x yang memenuhi harus kurang dari 2 dan dua tidak boleh ikut.
Himpunannya : x={...,−1,0,1} ,
garis bilangannya :
♠ Tanda ≤ dibaca kurang dari sama dengan atau lebih kecil sama dengan
x≤2 artinya nilai x yang memenuhi harus lebih kecil dan sama dengan dari 2 (dua boleh ikut).
Himpunannya : x={...,−1,0,1,2} ,
garis bilangannya :
♠ Tanda > dibaca lebih dari atau lebih besar
x>−3 artinya nilai x yang memenuhi harus lebih besar dari -3 (-3 tidak boleh ikut).
Himpunannya : x={−2,−1,0,1,...} ,
garis bilangannya :
♠ Tanda ≥ dibaca lebih dari sama dengan atau lebih besar sama dengan
x≥−3 artinya nilai x yang memenuhi harus lebih besar dan sama dengan dari -3 (-3 boleh ikut).
Himpunannya : x={−3,−2,−1,0,1,...} ,
garis bilangannya :
♠ Tanda < dibaca kurang dari atau lebih kecil
x<2 artinya nilai x yang memenuhi harus kurang dari 2 dan dua tidak boleh ikut.
Himpunannya : x={...,−1,0,1} ,
garis bilangannya :
♠ Tanda ≤ dibaca kurang dari sama dengan atau lebih kecil sama dengan
x≤2 artinya nilai x yang memenuhi harus lebih kecil dan sama dengan dari 2 (dua boleh ikut).
Himpunannya : x={...,−1,0,1,2} ,
garis bilangannya :
♠ Tanda > dibaca lebih dari atau lebih besar
x>−3 artinya nilai x yang memenuhi harus lebih besar dari -3 (-3 tidak boleh ikut).
Himpunannya : x={−2,−1,0,1,...} ,
garis bilangannya :
♠ Tanda ≥ dibaca lebih dari sama dengan atau lebih besar sama dengan
x≥−3 artinya nilai x yang memenuhi harus lebih besar dan sama dengan dari -3 (-3 boleh ikut).
Himpunannya : x={−3,−2,−1,0,1,...} ,
garis bilangannya :
2x+1<0,3x+4x−2≥6,x2−3x+4>0,
√2x+5≤x−1,|x+5|−3x≥7,x2−x+2≠0
Penyelesaian Pertidaksamaan
Penyelesaian yang dimaksud adalah semua nilai variabel yang ada (misal x) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Misal, penyelesaian pertidaksamaan −2x+4<0 adalah x>2, artinya untuk semua nilai x yang memenuhi x>2 pasti juga akan memenuhi
−2x+4<0. Contoh, x=3 , maka −2.(3)+4=−2<0
Cara menentukan tanda + atau − pada garis bilangan
Untuk menentukan tanda + atau − pada garis bilangan, nolkan ruas kanan pertidaksamaan, kemudian pilih angka
dari selang yang terbentuk pada garis bilangan dan substitusikan ke persamaan yang terbentuk di ruas kiri.
1). 2x−1≥3→2x−4≥0
akar-akarnya : 2x−4=0→2x=4→x=2
garis bilangannya :
*). Pilih salah satu angka di sebelah kiri 2, misalkan nol
x=0→2x−4=2.0−4=−4
hasilnya negatif, artinya tanda di sebelah kiri 2 negatif(−)
*). Pilih salah satu angka di sebelah kanan 2, misalkan 4
x=4→2x−4=2.4−4=4
hasilnya positif, artinya tanda di sebelah kanan 2 positif(+)
Garis bilangan dan tandanya :
2). Pertidaksamaan 2x2+2x−1<1−x
*). Menentukan akar-akar, nolkan ruas kanan.
2x2+2x−1<1−x2x2+2x−1+x−1<02x2+3x−2<0(2x−1)(x+2)=0x=12∨x=−2
Garis bilangannya
*). Menentukan tandanya
Terbentuk tiga selang/interval, pilih satu angka pada setiap selang dan substitusi ke (2x−1)(x+2)
Interval pertama : −∞<x<−2 , pilih x=−3
x=−3→(2x−1)(x+2)=(2.(−3)−1)(−3+2)=−7.(−1)=7 (tanda +)
Interval kedua : −2<x<12 , pilih x=0
x=0→(2x−1)(x+2)=(2.(0)−1)(0+2)=−1.2=−2 (tanda −)
Interval ketiga : 12<x<∞ , pilih x=1
x=1→(2x−1)(x+2)=(2.(1)−1)(1+2)=1.3=3 (tanda +)
Garis bilangan dan tandanya :
Catatan :
*). Biasanya tanda pada semua interval selang-seling (misalkan +, - , + , - , atau -, + , - , + )
*). Untuk penjelasan yang lebih mendalam tentang garis bilangan, silahkan baca artikelnya pada "Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan"
Langkah-langkah umum menyelesaiakan pertidaksamaan
Langkah - langkah berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan semua jenis pertidaksamaan :
♠ Solusi Umum (HP1) :
1). Nolkan ruas kanan
2). Tentukan akar-akar (pembuat nolnya) dari pertidaksamaan dengan cara mengubah ketaksamaan menjadi sama dengan (=) lalu difaktorkan.
3). Tuliskan akar-akar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap intervalnya ( + atau − setiap daerah)
4). Arsir daerah yang sesuai ( > untuk + , dan < untuk − )
5). Tulis himpunan penyelesaiannya (HP1)
♠ Solusi syarat-syarat jika ada ( HP2 ).
*). caranya sama dengan solusi umum di atas
*). solusi syarat biasanya ada pada pertidaksamaan pecahan, bentuk akar, dan logaritma.
♠ Solusi totalnya adalah irisan HP1 dan HP2
♠ Solusi Umum (HP1) :
1). Nolkan ruas kanan
2). Tentukan akar-akar (pembuat nolnya) dari pertidaksamaan dengan cara mengubah ketaksamaan menjadi sama dengan (=) lalu difaktorkan.
3). Tuliskan akar-akar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap intervalnya ( + atau − setiap daerah)
4). Arsir daerah yang sesuai ( > untuk + , dan < untuk − )
5). Tulis himpunan penyelesaiannya (HP1)
♠ Solusi syarat-syarat jika ada ( HP2 ).
*). caranya sama dengan solusi umum di atas
*). solusi syarat biasanya ada pada pertidaksamaan pecahan, bentuk akar, dan logaritma.
♠ Solusi totalnya adalah irisan HP1 dan HP2
Contoh
1). Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x−1<7 adalah ....?
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akarnya
2x−1<7→2x−1=7→2x=8→x=4
*). garis bilangan dan mengarsir daerahnya (diminta < , arsir negatif)
Jadi, himpunan penyelesaian HP ={x<4}
2). Pertidaksamaan ax−3>15 mempunyai penyelesaian x>6.
Nilai a yang memenuhi adalah ....?
Penyelesaian :
Cara I :
♣ Solusi dari pertidaksamaan diperoleh dari akar-akar pertidaksamaan dengan mengubah tanda ketaksamaan menjadi sama dengan.
♣ Solusinya x>6 artinya akar-akarnya adalah x=6
Substitusi x=6 ke persamaan :
x=6→ax−3>15a.6−3=156a=15+36a=18a=3
Jadi, nilai a=3
Cara II :
♣ Modifikasi pertidaksamaannya
ax−3>15→ax>18→x>18a
♣ Solusinya x>6
x>18ax>6} bentuknya sama
Sehingga 18a=6→a=186=3
Jadi, nilai a=3
3). Pertidaksamaan 3x−a<5x−23−ax−54 mempunyai penyelesaian x<1 .
Tentukan nilai a?
Penyelesaian :
♠ Solusinya x<1 , artinya akarnya adalah x=1
♠ Substitusi x=1 ke pertidaksamaan dan ubah ketaksamaannya menjadi sama dengan.
x=1→3x−a<5x−23−ax−543.1−a=5.1−23−a.1−543−a=33−a−543−a=1−a−54(kali 4)12−4a=4−(a−5)3a=3a=1
Jadi, nilai a=1
4). Pertidaksamaan ax2+bx−3≤0 mempunyai penyelesaian −12≤x≤3 .
Tentukan nilai a+b?
Penyelesaian :
♣ Solusinya −12≤x≤3 , akar-akarnya adalah x=−12 dan x=3
♣ Substitusi akar-akarnya ke pertidaksamaan :
x=−12→ax2+bx−3≤0a(−12)2+b.(−12)−3=0a(14)−b.(12)−3=0(kali 4)a−2b−12=0a−2b=12...pers(i)x=3→ax2+bx−3≤0a(3)2+b.(3)−3=09a+3b=3...pers(ii)
♣ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
a−2b=12kali 33a−6b=369a+3b=3kali 218a+6b=6+21a=42a=2
Pers(i) : a−2b=12→2−2b=12→b=−5
Sehingga nilai a+b=2+(−5)=−3
Jadi, nilai a+b=−3
Irisan dan Gabungan dua himpunan
Irisan lambangnya ∩ dan gabungan lambangnya ∪
♣ Hasil irisan dua himpunan adalah himpunan nilai yang sama yang terdapat pada kedua himpunan.
♣ Hasil gabungan dua himpunan adalah himpunan semua nilai yang terdapat pada kedua himpunan.
♣ Hasil irisan dua himpunan adalah himpunan nilai yang sama yang terdapat pada kedua himpunan.
♣ Hasil gabungan dua himpunan adalah himpunan semua nilai yang terdapat pada kedua himpunan.
Contoh
1). Himpunan A={1,2,3,4,5,6} dan himpunan B={2,3,4,6,7,8}
*). Irisannya : A∩B={2,3,4} (ambil yang sama saja dari kedua himpunan)
*). Gabungannya : A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8} (diambil semua, yang sama ditulis satu kali)
2). Diketahui : HP1={−2<x<4},HP2={0<x<5}
*). Irisannya : HP1∩HP2={0<x<4}
*). Gabungannya : HP1∪HP2={−2<x<5}
garis bilangannya :
Pertidaksamaan secara umum mempunyai penyelesaian seperti di atas. Artinya apapun jenis pertidaksamaannya, penyelesaiannya sama saja mengikuti langkah-langkah umum di atas. Namun untuk lebih maksimal, silahkan baca artikel pertidaksamaan secara lebih khusus, yaitu pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.