Isi Materi matriks :
Materi Pengenalan Matriks ini hanya membahas sampai kesamaan dua matriks, artinya sub materi seperti operasi hitung, determinan dan invers, serta penerapan matriks akan kita bahas pada artikel lainnya. Pengenalan matriks ini sangat penting bagi kita dalam mempelajari matriks secara matematis sebagai pendahuluan untuk pengetahuan kita tentang matriks.
Matriks secara umum akan melibatkan angka-angka atau aljabar yang disusun dalam entri-entri tertentu (letaknya pada baris dan kolom ke-$(i,j)$ ). Dalam mempelajari matriks, kita harus teliti karena jika salah satu unsur saja maka akan mengakibatkan kesalahan pada komponen yang lainnya. Ini akan memaksa kita untuk melakukan penghitungan ulang, dan tentu itu akan sangat membutuhkan waktu yang tidak sedikit.
Berikut penjelasan masing-masing,
Definisi Matriks
Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom
dalam suatu susunan berbentuk persegipanjang. Susunan bilangan itu diletakkan
di dalam kurung biasa "( )" atau kurung siku "[ ]". Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen.
$A_{m \times n} \, $ : $ \, m \, $ menyatakan banyak baris matriks A dan $ \, n \, $ menyatakan banyak kolom matriks A.
Ordo Matriks
Ordo (ukuran) matriks menyatakan ukuran banyaknya baris dan kolom suatu matriks, yang biasanya dinotasikan dengan
$ m \times n \, $ (baris $ \times \, $ kolom) , dimana $ m \, $ menyatakan banyak baris dan $ n \, $ menyatakan banyak kolom.
Contoh 1
Berikut contoh matriks
a). Matriks $ A = \left( \begin{matrix} 3 & -1 & 0 \\ 1 & 7 & 5 \end{matrix} \right) $
Matriks $ A \, $ berordo $ 2 \times 3 \, $ artinya banyak baris ada 2 dan kolom ada 3.
nilai elemen baris 1 kolom 1 adalah 3 ($a_{11}=3$)
nilai elemen baris 1 kolom 2 adalah -1 ($a_{12}=-1$)
nilai elemen baris 1 kolom 3 adalah 0 ($a_{13}=-1$)
nilai elemen baris 2 kolom 1 adalah 1 ($a_{21}=1$)
nilai elemen baris 2 kolom 2 adalah 7 ($a_{22}=7$)
nilai elemen baris 2 kolom 3 adalah 5 ($a_{23}=5$)
b). Matriks $ P = \left[ \begin{matrix} -3 & 4 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right] $
Matriks $ P \, $ berordo $ 2 \times 2 \, $ artinya banyak baris ada 2 dan kolom ada 2.
nilai elemen baris 1 kolom 1 adalah -3 ($p_{11}=-3$)
nilai elemen baris 1 kolom 2 adalah 4 ($p_{12}=4$)
nilai elemen baris 2 kolom 1 adalah 1 ($p_{21}=1$)
nilai elemen baris 2 kolom 2 adalah 6 ($p_{22}=6$)
Contoh 2 Matriks $ A \, $ berordo $ 2 \times 3 \, $ artinya banyak baris ada 2 dan kolom ada 3.
nilai elemen baris 1 kolom 1 adalah 3 ($a_{11}=3$)
nilai elemen baris 1 kolom 2 adalah -1 ($a_{12}=-1$)
nilai elemen baris 1 kolom 3 adalah 0 ($a_{13}=-1$)
nilai elemen baris 2 kolom 1 adalah 1 ($a_{21}=1$)
nilai elemen baris 2 kolom 2 adalah 7 ($a_{22}=7$)
nilai elemen baris 2 kolom 3 adalah 5 ($a_{23}=5$)
b). Matriks $ P = \left[ \begin{matrix} -3 & 4 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right] $
Matriks $ P \, $ berordo $ 2 \times 2 \, $ artinya banyak baris ada 2 dan kolom ada 2.
nilai elemen baris 1 kolom 1 adalah -3 ($p_{11}=-3$)
nilai elemen baris 1 kolom 2 adalah 4 ($p_{12}=4$)
nilai elemen baris 2 kolom 1 adalah 1 ($p_{21}=1$)
nilai elemen baris 2 kolom 2 adalah 6 ($p_{22}=6$)
Tentukan matriks $ 2 \times 2 \, $ , dengan $ B = [b_{ij}] \, $ yang memenuhi kondisi $ b_{ij} = j^{(i+1)} $ !
Penyelesaian : Misalkan matriksnya yaitu
Matriks $ B_{2 \times 2 } = \left[ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} \right] $
Dengan kondisi $ b_{ij} = j^{(i+1)} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai elemennya dengan $ b_{ij} = j^{(i+1)} $
$ b_{11} = 1^{(1+1)} = 1^2 = 1 $
$ b_{12} = 2^{(1+1)} = 2^2 = 4 $
$ b_{21} = 1^{(2+1)} = 1^3 = 1 $
$ b_{22} = 2^{(2+1)} = 2^3 = 8 $
Jadi, matriks yang dimaksud adalah $ B = \left[ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 1 & 8 \end{matrix} \right] $
Matriks $ B_{2 \times 2 } = \left[ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} \right] $
Dengan kondisi $ b_{ij} = j^{(i+1)} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai elemennya dengan $ b_{ij} = j^{(i+1)} $
$ b_{11} = 1^{(1+1)} = 1^2 = 1 $
$ b_{12} = 2^{(1+1)} = 2^2 = 4 $
$ b_{21} = 1^{(2+1)} = 1^3 = 1 $
$ b_{22} = 2^{(2+1)} = 2^3 = 8 $
Jadi, matriks yang dimaksud adalah $ B = \left[ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 1 & 8 \end{matrix} \right] $
Berikut beberapa jenis matriks yang dimaksud
a). Matriks Baris
Matriks baris adalah matriks yang terdiri atas satu baris saja. Biasanya, ordo
matriks seperti ini, $ 1 \times n, \, $ dengan $ n \, $ banyak kolomnya.
b). Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Matriks kolom
berordo $ m \times 1, \, $ dengan $ m \, $ banyak barisnya.
c). Matriks Persegi (bujur sangkar)
Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama.
Matriks ini memiliki ordo $ n \times n. $
catatan :
*). Pada matriks ada istilah diagonal utama (primer) dan diagonal samping (sekunder) seperti matriks berikut ini,
*). Pada matriks persegi ada istilah "Trace". Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama
Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 7 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 1 \\ 9 & 10 & 12 \end{matrix} \right] \, $
Trace(A) = 1 + 5 = 6, dan Trace(B) = 7 + 6 + 12 = 35.
d). Matriks Segitiga
Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah
atau di atas elemen diagonal utama bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen-elemen
di bawah elemen diagonal utama maka disebut matriks segitiga atas,
sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan
bahwa elemen diagonal utama harus bernilai tak nol.
e). Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan pola semua elemennya bernilai nol, kecuali
elemen diagonal utama.
f). Matriks skalar
Matriks skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai sama.
g). Matriks Identitas
Jika
suatu matriks persegi semua elemen diagonal utamanya adalah 1 dan unsur
yang lainnya semua nol disebut matriks identitas. Matriks identitas dinotasikan
sebagai $ I \, $ berordo $ n \times n. $
h). Matriks Nol
Jika semua elemen suatu matriks semuanya bernilai nol disebut matriks nol.
i). Matriks Simetri
Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika $ A = A^t $
(matriksnya sama dengan transposenya)
(matriksnya sama dengan transposenya)
ini berarti matriks A adalah matriks simetri.
j). Matriks Ortogonal
Matriks A orthogonal jika dan hanya jika $ A^t = A^{-1} $
$ A^{-1} \, $ menyatakan invers dari matriks A, untuk materi invers matriks bisa sobat baca artikel "Determinan dan Invers Matriks"
$ A^{-1} \, $ menyatakan invers dari matriks A, untuk materi invers matriks bisa sobat baca artikel "Determinan dan Invers Matriks"
karena $A^t = A^{-1} , \, $ maka matriks A adalah matriks ortogonal.
Transpose matriks adalah perubahan baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris. Dengan adanya transpose maka
ordo matriksnya juga berubah, misalkan awalnya ordo matriks $ m \times n \, $ dan setelah di transpose ordo berubah menjadi $ n \times m $ .
Untuk simbol transpose biasanya menggunakan pangkat $ t \, $ atau $ T \, $ . Misalkan ada matriks A, transpose matriks A adalah $ A^t \, $ atau $ A^T . \, $ Jika tidak menggunakan huruf $ t \, $ , biasanya akan diberikan keterangan bahwa yang dipakai tersebut adalah melambangkan transpose, misalkan $ \overline{A} \, $ atau $ A^\prime $ .
Untuk simbol transpose biasanya menggunakan pangkat $ t \, $ atau $ T \, $ . Misalkan ada matriks A, transpose matriks A adalah $ A^t \, $ atau $ A^T . \, $ Jika tidak menggunakan huruf $ t \, $ , biasanya akan diberikan keterangan bahwa yang dipakai tersebut adalah melambangkan transpose, misalkan $ \overline{A} \, $ atau $ A^\prime $ .
$ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 5 & 6 & 9 \end{matrix} \right]_{2 \times 3}, \, $ transposenya $ \, A^t = \left[ \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 6 \\ 2 & 9 \end{matrix} \right]_{3 \times 2} \, $
$ B = \left[ \begin{matrix} -4 & 5 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right]_{2 \times 2}, \, $ transposenya $ \, B^t = \left[ \begin{matrix} -4 & 1 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right]_{2 \times 2} \, $
$ C = \left[ \begin{matrix} 2 & 7 & 8 \end{matrix} \right]_{1 \times 3}, \, $ transposenya $ \, C^t = \left[ \begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 8 \end{matrix} \right]_{3 \times 1} \, $
Sifat - sifat transpose matriks
1). $( A^t)^t = A $
2). $ (A + B)^t = A^t + B^t $
3). $ (A - B)^t = A^t - B^t $
4). $ (AB)^t = B^tA^t $
5). $ (kA)^t = k(A)^t $
2). $ (A + B)^t = A^t + B^t $
3). $ (A - B)^t = A^t - B^t $
4). $ (AB)^t = B^tA^t $
5). $ (kA)^t = k(A)^t $
Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika:
i. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B.
ii. Setiap pasangan elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B sama, $a_{ij} = b_{ij} \, $ (untuk semua nilai $ i \, $ dan $ j \, $).
i. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B.
ii. Setiap pasangan elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B sama, $a_{ij} = b_{ij} \, $ (untuk semua nilai $ i \, $ dan $ j \, $).
Contoh 3
Diantara matriks - matriks berikut, manakah yang sama !
$ A = \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] , \, B = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] , \, C = \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 9 \end{matrix} \right] $
$ P = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] , \, Q = \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] , \, R = \left[ \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 9 \end{matrix} \right] $
$ A = \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] , \, B = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] , \, C = \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 9 \end{matrix} \right] $
$ P = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] , \, Q = \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] , \, R = \left[ \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 9 \end{matrix} \right] $
Penyelesaian :
Matriks yang sama adalah $ A = Q \, $ dan $ B = P $
Contoh 4 Matriks yang sama adalah $ A = Q \, $ dan $ B = P $
Diketahui matriks - matriks
$ A = \left( \begin{matrix} 6 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix} \right) , \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2x + 4 & 1 \\ 1 & y - 1 \\ 3x + z - 2 \end{matrix} \right) $
Jika $ A^t = B , \, $ maka tentukan nilai $ x + y + z $ ?
$ A = \left( \begin{matrix} 6 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix} \right) , \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2x + 4 & 1 \\ 1 & y - 1 \\ 3x + z - 2 \end{matrix} \right) $
Jika $ A^t = B , \, $ maka tentukan nilai $ x + y + z $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Menentukan transposenya :
$ A = \left( \begin{matrix} 6 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix} \right) \Rightarrow A^t = \left( \begin{matrix} 6 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x, y, z $
$ \begin{align} A^t & = B \\ \left( \begin{matrix} 6 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2x + 4 & 1 \\ 1 & y - 1 \\ 3x + z - 2 & 4 \end{matrix} \right) \end{align} $
Diperoleh persamaan :
$ 2x + 4 = 6 \rightarrow 2x = 6- 4 \rightarrow 2x = 2 \rightarrow x = 1 $
$ y - 1 = 3 \rightarrow y = 4 $
$ 3x + z - 2 = 2 \rightarrow 3.1 + z - 2 = 2 \rightarrow z = 1 $
sehingga nilai $ x + y + z = 1 + 4 + 1 = 6 $
$\spadesuit \, $ Menentukan transposenya :
$ A = \left( \begin{matrix} 6 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix} \right) \Rightarrow A^t = \left( \begin{matrix} 6 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x, y, z $
$ \begin{align} A^t & = B \\ \left( \begin{matrix} 6 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2x + 4 & 1 \\ 1 & y - 1 \\ 3x + z - 2 & 4 \end{matrix} \right) \end{align} $
Diperoleh persamaan :
$ 2x + 4 = 6 \rightarrow 2x = 6- 4 \rightarrow 2x = 2 \rightarrow x = 1 $
$ y - 1 = 3 \rightarrow y = 4 $
$ 3x + z - 2 = 2 \rightarrow 3.1 + z - 2 = 2 \rightarrow z = 1 $
sehingga nilai $ x + y + z = 1 + 4 + 1 = 6 $
Pada Pengenalan matriks ini kita hanya mempelajari materi dasarnya saja. Meskipun demikian, pengenalan matriks ini sangat penting bagi kita, terutama bagi pemula yang ingin menguasai materi matriks dengan mudah dan benar. Soal-soal Matriks biasanya sering keluar untuk ujian nasional maupun untuk tes seleksi masuk perguruan tinggi. Jadi, matriks ini bisa kita target untuk mendulang nilai karena materinya mudah , hanya saja butuh ketelitian lebih untuk mengerjakan soal-soalnya. Dengan banyak berlatih baik teori maupun soalnya, kita pasti akan bisa.
