Terapan Fungsi Kuadrat pada Nilai Maksimum dan Minimum

         Blog Koma - Dalam kehidupan sehari-hari terkadang kita dihadapkan dengan masalah yang berkaitan maksimum atau minimum. Untuk menyelesaikan soal cerita yang berkaitan dengan nilai maksimum atau nilai minimum, bisa menggunakan terapan fungsi kuadrat. Artinya soal cerita tersebut kita arahkan ke dalam bentuk fungsi kuadrat.

         Terapan Fungsi Kuadrat pada Nilai Maksimum dan Minimum sebagian besar diterapkan pada soal cerita. Tentu yang akan membuat kita kesulitan adalah bagaimana cara mengubah soal cerita menjadi bentuk model matematika khususnya berbentuk fungsi kuadrat. Saran kami adalah sebaiknya teman-teman mengerjakan soal-soal terapan fungsi kuadrat sebanyak-banyaknya agar lebih lancar dalam membuat model matematikanya. Namun tidak semua soal cerita dapat diselesaikan dengan terapan fungsi kuadrat karena bentuk fungsinya harus berupa fungsi kuadrat.

         Materi Terapan Fungsi Kuadrat pada Nilai Maksimum dan Minimum adalah materi terakhir pada materi fungsi kuadrat. Harapannya selain mampu menguasai materi dasar dari fungsi kuadrat juga kita mampu menenrapkannya dalam permasalah sehari-hari yang berupa soal cerita. Untuk lebih jelasnya, langsung saja kita pelajari materinya berikut ini.

Langkah-langkah Menyelesaikan Soal Cerita

         Untuk menggunakan terapan fungsi kuadrat, soal cerita yang ada harus kita proses dulu sesuai dengan langkah-langkah berikut.

1). Buat model matematika yaitu dalam bentuk fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2+bx+c $
2). Tentukan nilai maksimum atau minimumnya dengan rumus pada fungsi kuadrat :
       (i). jika $ a > 0 , \, $ maka nilai minimum = $ \frac{D}{-4a} $
       (ii). jika $ a < 0 , \, $ maka nilai maksimum = $ \frac{D}{-4a} $
       (iii). nilai yang menyebabkan maksimum/minimum = $ -\frac{b}{2a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac \, $ yang disebut sebagai nilai Diskriminan.

Berikut contoh dalam penerapan fungsi kuadrat.

Contoh 1.

Pak Budi memiliki sebuah kebun berbentuk persegi panjang dengan panjang $(2x-3) \, $ dm dan lebarnya $(7-2x) \, $ dm. Tentukan luas maksimum kebun pak Budi?

Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Menentukan luas kebun maksimumnya
$\begin{align} \text{Luas Kebun } (L) & = p.l \\ L & = (2x-3)(7-2x) \\ L & = -4x^2+20x-21 \\ a = -4, \, b & = 20, \, c = -21 \\ \text{Luas Maksimum } & = \frac{D}{-4a} \\ & = \frac{b^2-4ac}{-4a} \\ & = \frac{20^2-4.(-4).(-21)}{-4.(-4)} \\ \text{Luas Maksimum } & = \frac{64}{16} = 4 \end{align}$
Jadi, luas maksimumnya adalah 4 dm$^2 . \heartsuit $

Penyelesaian : Cara II
$\clubsuit \,$ Menentukan luas kebun maksimumnya
$\begin{align} \text{Luas Kebun } (L) & = p.l \\ L & = (2x-3)(7-2x) \\ L & = -4x^2+20x-21 \\ a = -4, \, b & = 20, \, c = -21 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Dari fungsi $ L = -4x^2+20x-21 \, $ , nilai maksimum bergantung dari nilai $ x \, $ , artinya nilai $ x \, $ bisa diperoleh dari :
$ x_p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(20)}{2.(-4)} = \frac{5}{2} \, $ dm
Sehingga luas maksimumnya saat $ x = \frac{5}{2} $ :
$\begin{align} \text{Luas Maksimum } & = -4.(\frac{5}{2})^2+20.(\frac{5}{2}-21 \\ & = -25 + 50 - 21 = 4 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Bisa juga menentukan panjang dan lebarnya dengan nilai $ x = \frac{5}{2} $
panjang = $ 2x-3 = 2.\frac{5}{2} - 3 = 5 - 3 = 2 $
lebar = $ 7 - 2x = 7 - 2.\frac{5}{2} = 7 - 5 = 2 $
Luas Maksimum = $ p . l = 2 . 2 = 4 $
Jadi, luas maksimumnya adalah 4 dm$^2 . \heartsuit $

Contoh 2.

Jika suatu proyek akan diselesaikan dalam $ x \, $ hari maka biaya proyek per hari menjadi $ \left( x + \frac{800}{x}-40 \right) \, $ juta rupiah. Tentukan biaya minimum proyek tersebut?

Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Menentukan model matematikanya
biaya per hari = $ \left( x + \frac{800}{x}-40 \right) \, $ dan banyak hari = $ x $
$\begin{align} \text{Total biaya } & = \text{ biaya per hari kali banyak hari } \\ & = \left( x + \frac{800}{x}-40 \right) . x \\ \text{Total biaya } & = x^2 - 40x + 800 \\ a = 1, \, b = -40, \, c & = 800 \\ \text{Total biaya minimum} & = \frac{D}{-4a} \\ & = \frac{b^2-4ac}{-4a} \\ & = \frac{(-40)^2-4.(1).(800)}{-4.1} \\ \text{Total biaya minimum } & = \frac{-1600}{-4} = 400 \end{align}$
Jadi, total biaya minimumnya adalah 400 juta rupiah . $ \heartsuit $

Contoh 3.

Selisih dua bilangan adalah 10. Hasil kali bilangan tersebut mencapai nilai terkecil jika jumlah kedua bilangan itu adalah .... ?

Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Menentukan model matematikanya
$\clubsuit \,$ Misalkan kedua bilangan tersebut adalah $ x \, $ dan $ y $
$\begin{align} \text{selisih } & = 10 \\ y-x & = 10 \\ y & = x + 10 \text{hasil kali } & = x.y \\ & = x.(x+10) \\ & = x^2 + 10x \\ \end{align}$
$\clubsuit \,$ Nilai terkecil $ x^2 + 10x \, $ diperoleh pada saat
$ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{2.1} = - 5 $
sehingga nilai $ y = x + 10 = -5 + 10 = 5 $
Nilai $ x + y = (-5) + 5 = 0 \, $ artinya jumlahnya = 0 .
Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah 0 . $ \heartsuit $

         Sebenarnya untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi bisa menggunakan terapan atau aplikasi dari turunan. Hanya saja jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat, maka bisa menggunakan terapan fungsi kuadrat untuk menentukan nilai maksimum atau minimumnya. Namun untuk fungsi selain bentuk fungsi kuadrat, maka secara umum menentukan nilai maksimum atau minimumnya menggunakan turunan.