Blog Koma - Pada materi sebelumnya telah dibahas tentang sifat-sifat eksponen yang diantaranya dengan pangkat pecahan.
Bentuk akar ada hubungannya dengan pangkat pecahan. Berikut bentuk pangkat pecahan yang digunakan :
Catatan :
*). $ \sqrt[n]{a} \, $ hasilnya $ b \, $ yang memenuhi $ b^n = a $
*). $ \sqrt[n]{a} \, $ dibaca akar pangkat $ n \, $ dari $ a $
*). Khusu untuk $ n = 2, \, \sqrt[2]{a} \, $ cukup ditulis $ \sqrt{a} \, $ dan dibaca akar dari $ a \, $ atau akar kuadrat dari $ a \, $ atau akar $ a $ .
Materi Bentuk Akar pada Eksponen merupakan bagian dari materi Eksponen itu sendiri yang melibatkan
pangkat pecahan. Pada Bentuk Akar pada Eksponen akan lebih menekankan pada operasi dan merasionalkan bentuk akar yang biasanya selalu keluar pada ujian nasional
tingkat SMA atau sederajatnya. Kita akan mengalami kesulitan mempelajari Bentuk akar untuk soal-soal dengan bilangan yang cukup besar.
Bentuk Akar pada Eksponen pada artikel ini secara urut menjelaskan tentang pengertian bentuk akar, menyederhanakan bentuk akar, operasi-operasi hitung bentuk akar, merasionalkan bentuk akar, dan bentuk akar dalam akar. Dengan menguasai secara keseluruhan materi bentuk akar secara baik, tentu akan membantu kita lebih mudah dalam mengerjakan soal-soal yang langsung terkait dengan bentuk akar. Jangan lupa terus berlatih untuk penguasaan yang lebih baik lagi.
Jika $ \sqrt[n]{a} = b , \, $ maka $ a = b^n $
*). $ \sqrt[n]{a} \, $ hasilnya $ b \, $ yang memenuhi $ b^n = a $
*). $ \sqrt[n]{a} \, $ dibaca akar pangkat $ n \, $ dari $ a $
*). Khusu untuk $ n = 2, \, \sqrt[2]{a} \, $ cukup ditulis $ \sqrt{a} \, $ dan dibaca akar dari $ a \, $ atau akar kuadrat dari $ a \, $ atau akar $ a $ .
Contoh
a. $ \sqrt[3]{27} = ... \, $ , b. $ \sqrt[4]{16} = .... \, $ c. $ \sqrt{81} = .... $
Penyelesaian :
a. $ \sqrt[3]{27} = 3 \, $ karena $ 3^3 = 27 $
b. $ \sqrt[4]{16} = 2 \, $ karena $ 2^4 = 16 $
c. $ \sqrt{81} = 9 \, $ karena $ 9^2 = 81 $
a. $ \sqrt[3]{27} = 3 \, $ karena $ 3^3 = 27 $
b. $ \sqrt[4]{16} = 2 \, $ karena $ 2^4 = 16 $
c. $ \sqrt{81} = 9 \, $ karena $ 9^2 = 81 $
Pengertian Bentuk Akar
Bentuk akar adalah akar dari sebuah bilangan real positif yang hasilnya bukan bilangan rasional yang memenuhi sifat :
Jika $ \sqrt{a} = b, \, $ maka $ b^2 = a \, $ dengan $ a \geq 0 $
Catatan :
*). $ b \, $ adalah hasil dari $ \sqrt{a} $
*). $ \sqrt{a} \, $ disebut bentuk akar jika hasilnya ($b$) adalah bilangan irrasional.
Catatan :
*). $ b \, $ adalah hasil dari $ \sqrt{a} $
*). $ \sqrt{a} \, $ disebut bentuk akar jika hasilnya ($b$) adalah bilangan irrasional.
Contoh
1). $ \sqrt{4} \, $ bukan bentuk akar karena hasilanya $ \sqrt{4} = 2 \, $ adalah bilangan rasional.
2). $ \sqrt{2} \, $ adalah bentuk akar karena hasilnya $ \sqrt{2} = 1,41421.... \, $ adalah bilangan irrasional.
2). $ \sqrt{2} \, $ adalah bentuk akar karena hasilnya $ \sqrt{2} = 1,41421.... \, $ adalah bilangan irrasional.
Menyederhanakan Bentuk Akar
Untuk menyederhanakan bentuk akar, kita gunakan sifat $ \sqrt{a^2} = a , \, $ dengan $ a^2 \, $ disebut
sebagai bilangan kuadrat sempurna, serta gunakan sifat $ \sqrt{a^2.b} = a\sqrt{b} $ , dengan $ a \geq 0 , \, b \geq 0 $ .
Contoh
1). $ \sqrt{4} = \sqrt{2^2} = 2 $
2). $ \sqrt{32} = \sqrt{16.2}=\sqrt{4^2.2} = 4\sqrt{2} $
3). $ \sqrt{c^3} = \sqrt{c^2.c} = c\sqrt{c} $
4). $ \sqrt{12k} = \sqrt{4.3k} = \sqrt{2^2.3k} = 2\sqrt{3k} $
5). $ \sqrt{18k^3} = \sqrt{9k^2.2k} = \sqrt{(3k)^2.2k} = 3k\sqrt{2k} $
2). $ \sqrt{32} = \sqrt{16.2}=\sqrt{4^2.2} = 4\sqrt{2} $
3). $ \sqrt{c^3} = \sqrt{c^2.c} = c\sqrt{c} $
4). $ \sqrt{12k} = \sqrt{4.3k} = \sqrt{2^2.3k} = 2\sqrt{3k} $
5). $ \sqrt{18k^3} = \sqrt{9k^2.2k} = \sqrt{(3k)^2.2k} = 3k\sqrt{2k} $
Operasi Aljabar Bentuk Akar
Sifat-sifat Operasi bentuk aljabar sebagai berikut :
1). $ a\sqrt{p} + b\sqrt{p} = (a+b)\sqrt{p} $
2). $ a\sqrt{p} - b\sqrt{p} = (a-b)\sqrt{p} $
3). $ \sqrt{a}.\sqrt{b} = \sqrt{a.b} $
4). $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $
5). $ (a\sqrt{p}).(b\sqrt{q}) = (a.b)\sqrt{p.q} $
6). $ \sqrt{a} . \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a $
7). $ \frac{a\sqrt{p}}{b\sqrt{q}} = \left( \frac{a}{b} \right) \sqrt{\frac{p}{q}} $
2). $ a\sqrt{p} - b\sqrt{p} = (a-b)\sqrt{p} $
3). $ \sqrt{a}.\sqrt{b} = \sqrt{a.b} $
4). $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $
5). $ (a\sqrt{p}).(b\sqrt{q}) = (a.b)\sqrt{p.q} $
6). $ \sqrt{a} . \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a $
7). $ \frac{a\sqrt{p}}{b\sqrt{q}} = \left( \frac{a}{b} \right) \sqrt{\frac{p}{q}} $
Contoh
1). $ 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = (2+4)\sqrt{3} = 6 \sqrt{3} $
2). $ 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (6-2)\sqrt{5} = 4\sqrt{5} $
3). $ \sqrt{2}.\sqrt{3} = \sqrt{2.3} = \sqrt{6}$
4). $ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2} $
5). $ (3\sqrt{5}).(2\sqrt{2}) = (3.2)\sqrt{5.2} = 6\sqrt{10} $
6). $ \sqrt{7} . \sqrt{7} = \sqrt{7^2} = \sqrt{49} = 7 $
7). $ \frac{8\sqrt{15}}{2\sqrt{3}} = \left( \frac{8}{2} \right) \sqrt{\frac{15}{3}} = 4 \sqrt{5} $
2). $ 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (6-2)\sqrt{5} = 4\sqrt{5} $
3). $ \sqrt{2}.\sqrt{3} = \sqrt{2.3} = \sqrt{6}$
4). $ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2} $
5). $ (3\sqrt{5}).(2\sqrt{2}) = (3.2)\sqrt{5.2} = 6\sqrt{10} $
6). $ \sqrt{7} . \sqrt{7} = \sqrt{7^2} = \sqrt{49} = 7 $
7). $ \frac{8\sqrt{15}}{2\sqrt{3}} = \left( \frac{8}{2} \right) \sqrt{\frac{15}{3}} = 4 \sqrt{5} $
Merasionalkan Bentuk Akar
Merasionalkan bentuk akar adalah mengubah bentuk akar (iirasional) menjadi bilangan rasional (menghilangkan
akarnya) dengan mengalikan bentuk sekawannya.
Untuk $ a, \, b, \, c, \, $ dan $ d \, $ bilangan rasional positif, maka :
*). $ \sqrt{a} \, $ sekawannya $ \sqrt{a} $
*). $ (a + \sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (a - \sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
*). $ (a + p\sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (a - p\sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
*). $ (\sqrt{a} + \sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (\sqrt{a} - \sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
*). $ (p\sqrt{a} + q\sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (p\sqrt{a} - q\sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
Catatan :
*). Sekawannya positif (+) adalah negatif (-) , dan sebaliknya sekawannya negatif (-) adalah positif (+) .
*). Untuk perkaliannya, gunakan $ (p+q)(p-q) = p^2 - q^2 $
*). $ (a + \sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (a - \sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
*). $ (a + p\sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (a - p\sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
*). $ (\sqrt{a} + \sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (\sqrt{a} - \sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
*). $ (p\sqrt{a} + q\sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (p\sqrt{a} - q\sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
Catatan :
*). Sekawannya positif (+) adalah negatif (-) , dan sebaliknya sekawannya negatif (-) adalah positif (+) .
*). Untuk perkaliannya, gunakan $ (p+q)(p-q) = p^2 - q^2 $
Contoh
Rasionalkan bentuk pecahan-pecahan berikut :
a). $ \frac{2}{\sqrt{3}} \, \, \, \, \, $ b). $ \frac{5}{4 - \sqrt{6}} \, \, \, \, \, $ c). $ \frac{14}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} $
d). $ \frac{2}{5 - 2\sqrt{3}} \, \, \, \, $ e). $ \frac{3}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} $
a). $ \frac{2}{\sqrt{3}} \, \, \, \, \, $ b). $ \frac{5}{4 - \sqrt{6}} \, \, \, \, \, $ c). $ \frac{14}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} $
d). $ \frac{2}{5 - 2\sqrt{3}} \, \, \, \, $ e). $ \frac{3}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} $
Penyelesaian :
Untuk merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar, dapat dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawan dari penyebutnya.
a). $ \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \sqrt{3} $
b). $ \frac{5}{4 - \sqrt{6}} = \frac{5}{4 - \sqrt{6}} . \frac{4 + \sqrt{6}}{4 + \sqrt{6}} = \frac{5(4 + \sqrt{6})}{16 - 6} = \frac{5(4 + \sqrt{6})}{10} = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} $
c). $ \frac{14}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} . \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{14(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{14(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2} = 7(\sqrt{5} - \sqrt{3}) $
d). $ \frac{2}{5 - 2\sqrt{3}} = \frac{2}{5 - 2\sqrt{3}} . \frac{5 + 2\sqrt{3}}{5 + 2\sqrt{3}} = \frac{2(5 + 2\sqrt{3})}{25 - 12} = \frac{2(5 + 2\sqrt{3})}{13} $
e). $ \frac{3}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} . \frac{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}} = \frac{3(2\sqrt{5}+3\sqrt{2})}{20 - 18} = \frac{3(2\sqrt{5}+3\sqrt{2})}{2} $
Untuk merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar, dapat dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawan dari penyebutnya.
a). $ \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \sqrt{3} $
b). $ \frac{5}{4 - \sqrt{6}} = \frac{5}{4 - \sqrt{6}} . \frac{4 + \sqrt{6}}{4 + \sqrt{6}} = \frac{5(4 + \sqrt{6})}{16 - 6} = \frac{5(4 + \sqrt{6})}{10} = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} $
c). $ \frac{14}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} . \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{14(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{14(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2} = 7(\sqrt{5} - \sqrt{3}) $
d). $ \frac{2}{5 - 2\sqrt{3}} = \frac{2}{5 - 2\sqrt{3}} . \frac{5 + 2\sqrt{3}}{5 + 2\sqrt{3}} = \frac{2(5 + 2\sqrt{3})}{25 - 12} = \frac{2(5 + 2\sqrt{3})}{13} $
e). $ \frac{3}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} . \frac{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}} = \frac{3(2\sqrt{5}+3\sqrt{2})}{20 - 18} = \frac{3(2\sqrt{5}+3\sqrt{2})}{2} $
Bentuk Akar dalam Akar
Untuk $ a \, $ dan $ b \, $ bilangan raasional positif, berlaku sifat :
*). $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (a+b) + 2\sqrt{ab} \, $ atau
$ \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $
*). $(\sqrt{a} +- \sqrt{b})^2 = (a+b) - 2\sqrt{ab} \, $ atau
$ \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \, $ dengan $ \sqrt{a} \geq \sqrt{b} $
$ \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $
*). $(\sqrt{a} +- \sqrt{b})^2 = (a+b) - 2\sqrt{ab} \, $ atau
$ \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \, $ dengan $ \sqrt{a} \geq \sqrt{b} $
Contoh
Pada materi Bentuk Akar pada Eksponen , ada juga bagian yang namanya "akar dalam akar", bentuk ini
menarik untuk kita kuasai karena ada dobel akar pada soalnya. Untuk soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi malah tipe akar dalam akar ini yang bisa menjadi
momok bagi perserta yang mengikuti tes, karena melihat bentuknya saja terkadang kita sudah mulai lemah dan langsung merasa tidak bisa. Pahamilah baik-baik
bagian ini, pasti akan membantu suatu saat.
a). $ \sqrt{4+2\sqrt{3}} = .... \, $
b). $ \sqrt{6-2\sqrt{8}} = .... $
c). $ \sqrt{7+\sqrt{24}} = .... \, $ d). $ \sqrt{4+\sqrt{15}} = .... $
c). $ \sqrt{7+\sqrt{24}} = .... \, $ d). $ \sqrt{4+\sqrt{15}} = .... $
Penyelesaian :
a). $ \sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(1+3)+2\sqrt{1.3}} = \sqrt{1} + \sqrt{3} = 1 + \sqrt{3} $
b). $ \sqrt{6-2\sqrt{8}} = \sqrt{(4+2)-2\sqrt{4.2}} = \sqrt{4} - \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2} $
c). $ \sqrt{7+\sqrt{24}} = \sqrt{7+\sqrt{4.6}} $
$ \sqrt{7+2\sqrt{6}} = \sqrt{(1+6)+2\sqrt{1.6}} = \sqrt{1} + \sqrt{6} = 1 + \sqrt{6} $
d). $ \sqrt{4+\sqrt{15}} = \sqrt{4 + 2. \frac{1}{2} \sqrt{15}} = \sqrt{4 + 2\sqrt{\frac{15}{4}} } $
$ = \sqrt{ \left( \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \right) + 2\sqrt{\frac{5}{2} . \frac{3}{2}} } = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $
$ = \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right). \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} ( \sqrt{5} + \sqrt{3} )}{2} = \frac{ \sqrt{10} + \sqrt{6} }{2} $
a). $ \sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(1+3)+2\sqrt{1.3}} = \sqrt{1} + \sqrt{3} = 1 + \sqrt{3} $
b). $ \sqrt{6-2\sqrt{8}} = \sqrt{(4+2)-2\sqrt{4.2}} = \sqrt{4} - \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2} $
c). $ \sqrt{7+\sqrt{24}} = \sqrt{7+\sqrt{4.6}} $
$ \sqrt{7+2\sqrt{6}} = \sqrt{(1+6)+2\sqrt{1.6}} = \sqrt{1} + \sqrt{6} = 1 + \sqrt{6} $
d). $ \sqrt{4+\sqrt{15}} = \sqrt{4 + 2. \frac{1}{2} \sqrt{15}} = \sqrt{4 + 2\sqrt{\frac{15}{4}} } $
$ = \sqrt{ \left( \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \right) + 2\sqrt{\frac{5}{2} . \frac{3}{2}} } = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $
$ = \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right). \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} ( \sqrt{5} + \sqrt{3} )}{2} = \frac{ \sqrt{10} + \sqrt{6} }{2} $
Bentuk Akar pada Eksponen pada artikel ini secara urut menjelaskan tentang pengertian bentuk akar, menyederhanakan bentuk akar, operasi-operasi hitung bentuk akar, merasionalkan bentuk akar, dan bentuk akar dalam akar. Dengan menguasai secara keseluruhan materi bentuk akar secara baik, tentu akan membantu kita lebih mudah dalam mengerjakan soal-soal yang langsung terkait dengan bentuk akar. Jangan lupa terus berlatih untuk penguasaan yang lebih baik lagi.
